4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき 最大値 最小値 を求める問題
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求める問題
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目次
- \(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求めるのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき、最大値と最小値を求める問題に必要な道具
- 正弦関数(sin)の8倍角の公式
- ド・モアブルの定理
- \(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたときの最大値・最小値 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき、最大値と最小値
- 参考文献
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\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたとき、最大値と最小値を求めるのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき、最大値と最小値を求める問題に必要な道具
正弦関数(sin)の8倍角の公式
$$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$
証明
$$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$
$$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$
$$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8\cdots ド・モアブルの定理$$
$$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$
$$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$
ド・モアブルの定理
$$(cos\theta+isin \theta)^n=cos\ n\theta+isin\ \theta$$
証明
$$(cos\theta+isin \theta)^n=\left(e^{i\theta}\right)^n=e^{in\theta}=cos\ n\theta+isin\ \theta$$
\(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7\)を単位円の境界である単位円周\(x^2+y^2=1\)で考えたときの最大値・最小値 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を単位円の境界である単位円周x^2+y^2=1で考えたとき、最大値と最小値
$$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=1^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$
\(=\frac{1}{2}sin8\theta,\ -1\le sin\ n\theta\le1\)より最大値\(\frac{1}{2}\)、 最小値\(-\frac{1}{2}\)
参考文献
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- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
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