4xy”+2y’+y=0 を解くのに必要な道具
4xy”+2y’+y=0 を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
4xy”+2y’+y=0 を解くのに必要な道具
フロベニウスの方法
\(f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)\)と仮定する。
三角関数のマクローリン展開
$$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$
$$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$
4xy”+2y’+y=0の解法
x=0は確定特異点
級数を\(y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}\)とおくと\(y’=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y”=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}\)
これを4xy”+2y’+y=0に代入
$$\sum_{n=0}^\infty 4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-1} x^{n+\rho-1}=0$$
$$\sum_{n=0}^\infty\left( \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}\right)x^{n+\rho-1}=0$$
決定方程式
$$ \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}=0$$
$$(n+\rho)(4n+4\rho-4+2)c_n+c_{n-1}=0$$
$$2(n+\rho)(2n+2\rho-1)c_n+c_{n-1}=0\cdots①$$
n=0のとき①より
$$2\rho(2\rho-1)c_0+c_{-1}=0$$
\(c_{-1}=0\)とすれば\(\rho(2\rho-1)c_0=0\), \(c_0\neq0\)より\(\rho=0,\ \frac{1}{2}\)
\(\rho=0\)のとき ①より
$$2n(2n-1)c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{2n(2n-1)}$$
- \(n=1\)のとき \(c_1=-\frac{c_0}{2}\)
- \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}\)
- \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_2}{6\cdot 5}=-\frac{c_0}{6!}\)
- \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_3}{8\cdot 7}=\frac{c_0}{8!}\)
$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+0}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}\cdots②$$
\(\rho=\frac{1}{2}\)のとき ①より
$$(2n+1)2n c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{(2n+1)2n}$$
- \(n=1\)のとき \(c_1=-\frac{c_0}{3\cdot 2}=-\frac{c_0}{3!}\)
- \(n=2\)のとき \(c_2=\frac{-c_1}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}\)
- \(n=3\)のとき \(c_3=\frac{-c_2}{7\cdot 6}=-\frac{c_0}{7!}\)
- \(n=4\)のとき \(c_4=\frac{-c_3}{9\cdot 8}=\frac{c_0}{9!}\)
$$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\frac{1}{2}}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdots③$$
4xy”+2y’+y=0の一般解
②と③の\(c_0\)は別物なので
$$y=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}+c_1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=c_0cos\sqrt x+c_1sin\sqrt x$$
参考文献
検索しても計算過程が見つからない場合
検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ
を利用してみてはいかがでしょうか。
ココナラ 登録方法
会員登録しなくてもサービスの検索はできます。
サービスの購入・出品には会員登録が必要です。
スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方
スタディサプリ進路 社会人向けで社会人が数学を学べる大学を検索してみます。
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
- 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス
- 1階非斉次線形微分方程式の一般解
- y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
- y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
- y’=2y/x-yの解き方 同次形
- dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
- x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
- 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
- x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
- x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
- (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
- (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
- ３つの関数の積の積分
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
- x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
- 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
- 完全微分形の一般解
- (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形
