1階非斉次線形微分方程式の一般解 の導出 を使うと1階非斉次線形微分方程式の一般解が容易に解けます。
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目次
1階非斉次線形微分方程式の一般解の導出
1階非斉次線形微分方程式y’+p(x)y=q(x)の両辺に\(e^{\int_{}{}p(x)dx}\)を掛ける。
$$e^{\int_{}{}p(x)dx}y’+p(x) e^{\int_{}{}p(x)dx} y= e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x),\ \left[e^{\int_{}{}p(x)dx} y\right]’= e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x)$$
積分する
$$e^{\int_{}{}p(x)dx} y= \int_{}{}e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x)+C$$
\( e^{\int_{}{}p(x)dx} \)で割る。
$$y= e^{-\int_{}{}p(x)dx} \int_{}{} e^{\int_{}{}p(x)dx} q(x) dx+C e^{-\int_{}{}p(x)dx} $$
\(y’-3y=e^x\)の解法
\(e^{\int_{}{}-3dx}=e^{-3x}\)を掛ける。
$$e^{-3x}y’-3 e^{-3x} y= e^{-3x} e^x,\ \left[e^{-3x}y\right]’=e^{-2x}$$
積分する。
$$ e^{-3x}y =\int_{}{}e^{-2x}dx,\ e^{-3x}y = -\frac{1}{2}e^{-2x}+C,\ y=-\frac{1}{2}e^x+Ce^{3x}$$
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