(x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0 を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。
\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\)を完全微分形の一般解を導出する方法で求める。
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目次
完全微分形の一般解の導出
$$P(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial x}U(x,y),\ Q(x,y)= \frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)$$とする。
$$dU(x,y)=\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial x}dx+\frac{ \partial U(x,y)}{ \partial y}dy=0,\ U(x,y)=C\cdots①$$
P(x, y)をxで積分する
$$U(x,y)=\int_{}{}P(x,y)dx+C(y)\cdots②$$
yで微分する
$$\frac{ \partial}{ \partial y}U(x,y)=\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)$$
$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)+\frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y),\ \frac{ \partial}{ \partial y}C(y)=Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)$$
yで積分する
$$C(y)=\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy$$
これと①を②に代入
$$\int_{}{}P(x,y)dx+\int_{}{}\left[Q(x,y)-\frac{ \partial}{ \partial y}\left(\int_{}{}P(x,y)dx\right)\right]dy=C$$
\((2x+y)dx+(x+2y)dy=0\)の一般解
\((x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0\) は完全微分形ではないので積分因子\(\frac{1}{x+y}\)を掛ければ完全微分方程式
$$(2x+y)dx+(x+2y)dy=0になる。$$
\(P(x, y)=2x+y,\ Q(x, y)=x+2y\)とおくと
完全微分条件
$$ \frac{ \partial P}{ \partial y} =1,\ \frac{ \partial Q}{ \partial x}=1$$
であり\(\frac{ \partial P}{ \partial y}= \frac{ \partial Q}{ \partial x}\)であるからこの微分方程式は完全形である。
\(P(x,\ y)をxで積分する\)
$$\int_{}{}P(x,y)dx ＝\int_{}{}(2x+y)dx=x^2+xy+C(y)\cdots①$$
\(y\)で微分する
$$\frac{ \partial}{ \partial y}\left(x^2+xy+C(y)\right)=x+C'(y),\ x+C'(y)=x+2y,\ C'(y)=2y$$
\(y\)で積分する
$$C(y)=\int_{}{}2ydy=y^2$$
これを①に代入
$$U(x,y)=x^2+xy+y^2$$
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