初期値問題 x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具：特性方程式が虚数解の場合の一般解
x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の計算が長くなったので記事にしました。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
初期値問題 x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 を解くのに必要な道具
特性方程式が虚数解の場合の一般解
特性方程式が虚数解の場合の一般解
\(p^2-4q<0\)のとき、\(a=-\frac{p}{2},\ b=\frac{\sqrt{4q-p^2}}{2}\)とおけば、一般解は
$$y=e^{ax}(c_1cos\ bx+c_2sin\ bx)$$
x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0 の解法
一般解
$$s^2-2s+5=0,\ s=1\pm\sqrt{1-5}=1\pm2i$$
$$x=e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$
特殊解
x=acost+bsintとおくとx’=-asint+bcost, x”=-acost-bsint
-acost-bsint+2asint-2bcost+5acost+5bsint=20cost
(-a-2b+5a-20)cost+(2a-b+5b)sint=0
4a-2b-20=0, 2a-b-10=0…①, 2a+4b=0, a+2b=0…②
①×2+②, 5a=20, a=4, 4+2b=0, b=-2
x=4cost-2sint
初期条件より
$$x=4cos\ t-2sin\ t+e^t(c_1cos2t+c_2sin2t)$$
$$x(0)=4+c_1=0,\ c_1=-4$$
$$x’=-4sin\ t-2cos\ t+c_1e^tcos2t-2c_1e^tsin2t+c_2e^tsin2t+2c_2e^tcos2t$$
$$x'(0)=-2+c_1+2c_2=-2-4+2c_2=-6+2c_2=0,\ 2c_2=6,\ c_2=3$$
$$x=e^t(-4cos2t+3sin2t)+4cos\ t-2sin\ t$$
参考文献
検索しても計算過程が見つからない場合
検索しても計算過程が見つからない場合ココナラ
を利用してみてはいかがでしょうか。
ココナラ 登録方法
会員登録しなくてもサービスの検索はできます。
サービスの購入・出品には会員登録が必要です。
スタディサプリ進路 社会人向け の 使い方
スタディサプリ進路 社会人向けで社会人が数学を学べる大学を検索してみます。
独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！
- 1/sinxdxから1/tdtへの変形 トラクトリックス
- 1階非斉次線形微分方程式の一般解
- y’=(1+y)/sinxの解き方 変数分離形
- y’=(x^2-y^2)/2xyの解き方 同次形
- y’=2y/x-yの解き方 同次形
- dy/dx-(3/2)(y-a)^(1/3)=0 の一般解と、それらの解曲線の包絡線である特異解
- x=-e^2t∫3t^2e^(-2t)dt+te^2t∫3te^(-2t)dtの解き方 部分積分
- 特殊解を求めるのに 定数変化法 より クラメルの公式
- x”-x’=sint+2costの一般解（未定係数法）
- x”-2x’+5x=20cost, x(0)=x'(0)=0の解き方 初期値問題
- (t+2)x”-(2t+6)x’+(t+4)x=0 (x=e^t)の一般解 階数低下法
- (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の一般解 階数低下法
- ３つの関数の積の積分
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（オイラーの微分方程式）
- 4xy”+2y’+y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0の解き方（フロベニウスの方法）
- 級数解法・フロベニウスの方法 使い分け
- x=0 で 等温境界条件 u(0,t)=uをみたし、 x=1 で 断熱境界条件 ux(1,t)=0をみたす解
- x=0 で 断熱境界条件 ux(0,t)=uをみたし、 x=1 で 等温境界条件 u(1,t)=0 をみたす解
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7をr^nsinnθ,r^ncosnθの1次結合として表す。
- 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7の最大値・最小値 ラプラシアン
- 独学で大学数学の積分因子を勉強しています！
- 完全微分形の一般解
- (x^2+3xy+2y^2)dy+(2x^2+3xy+y^2)dx=0の一般解 完全微分形
