x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具
\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\)の一般解の計算が複雑なので記事にしました。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) を解くのに必要な道具 x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具
部分積分
$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$
定数変化法
$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$
\(x”-x’=sin\ t+2cos\ t\) の一般解 x”-x’=sint+2cost の一般解
基本解
$$s^2-s=0,\ s(1-s)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$$
ロンスキアン
$$W(1,\ e^t)=e^t$$
特殊解
$$x=-\int_{}{}\frac{e^t(sin\ t+2cos\ t)}{e^t}dt+e^t\int_{}{}\frac{sin\ t+2cos\ t}{e^t}dt$$
$$=-\int_{}{}(sin\ t+2cos\ t)dt+e^t\int_{}{}e^{-t}(sin\ t+2cos\ t)dt$$
\(\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt\)の積分
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ \int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt $$
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-(e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt)$$
$$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-e^{-t}sin\ t$$
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)$$
\(2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt\)の積分
$$\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt =e^{-t}sin\ t-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$
$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t-e^{-t}cos\ t$$
$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$
特殊解続き
$$=-(-cos\ t+2sin\ t)+e^t(-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)+e^{-t}(sin\ t-cos\ t))$$
$$=cos\ t-2sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+sin\ t-cos\ t$$
$$=-sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t=-\frac{3}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$
一般解
$$x=c_1+c_2e^{t}-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$
参考文献
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