x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具
定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに定数変化法があるが クラメルの公式 が使われている方が式を覚えるのが楽でした。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
x”-x’=sint+2cost を解くのに必要な道具
部分積分
$$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$
定数変化法
$$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$
クラメルの公式
連立方程式
$$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array} \right.$$
を行列を用いて表すと
$$\left( \begin{array}{ll} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$$
の解は
$$x_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} b_1 & a_{12} \\ b_2 & a_{22} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|},\ x_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} & b_1 \\ a_{21} & b_2\end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} & a_{12} \\ a_{21} & a_{22} \end{array} \right|}$$
x”-x’=sint+2cost の一般解
x”-x’=sint+2cost の基本解
\(x=e^{\alpha t}\)とおくと\(\alpha^2-\alpha=0,\ \alpha(\alpha-1)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t\)
x”-x’=sint+2cost の特殊解
クラメルの公式
$$u’_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 & e^t \\ sin\ t+2cos\ t & e^t \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 & e^t \\ 0 & e^t \end{array} \right|}=\frac{e^tsin\ t+2e^tcos\ t}{e^t}=sin\ t-2cos\ t$$
$$u’_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} 1 & 0 \\ 0 & sin\ t+2cos\ t \end{array} \right|}{e^t}=\frac{sin\ t+2cos\ t}{e^t}=e^{-t}sin\ t+2e^{-t}cos\ t$$
積分する
$$u_1=-\int_{}{}sin\ tdt-2\int_{}{}cos\ tdt=cos\ t-2sin\ t$$
$$u_2=\int{}{}e^{-t}sin\ tdt+2\int_{}{}e^{-t}cos\ tdt$$
\(\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt\)の積分
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ \int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt $$
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-(e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt)$$
$$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-e^{-t}sin\ t$$
$$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)$$
\(2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt\)の積分
$$\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt =e^{-t}sin\ t-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$
$$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$
\(u_2\)の積分続き
$$u_2=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)+e^{-t}(sin\ t-cos\ t)$$
x”-x’=sint+2cost の特殊解
$$x=cos\ t-2sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+sin\ t-cos\ t=-\frac{3}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$
x”-x’=sint+2costの一般解
$$x=c_1+c_2e^{t}-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$
参考文献
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特殊解を求めるのに定数変化法よりクラメルの公式
