1/(Z-α)の係数c-1をf(z)のαのおける 留数 といいRes[z-α]f(z)と書きます。
関数f(z)がαを孤立特異点としてもちαを中心とするローラント展開を
$$f(z)=\sum_{n=-\infty}^{\infty}c_n(z-\alpha)^n$$
とします。このとき \(\frac{1}{z-\alpha}\)の係数\(c_{-1}\) を\(f(z)\)の\(\alpha\)における 留数 といい
$$\underset{z=\alpha}{Res}\ f(z)$$
と書きます。
目次
∫[-∞→∞]1/(1+x^2)^2dx の解き方
\(\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx\)の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。
∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx を解くのに必要な道具
- 留数の原理を用いた定積分の計算
- m位の極の留数
![∫[-∞→∞] (1/(1+x^2)^2)dx の解き方](https://jikuu.work/wp-content/uploads/2019/11/R2-600x360.jpg "∫[-∞→∞] (1/(1+x^2)^2)dx の解き方 2")
∫[0→∞](xsinx/(1+x^2))dxの解き方
\(\int_{0}^{ \infty }\frac{x\ sinx}{1+x^2}dx\)の解き方が検索しても正しい解法が出てこなかったので記事にしました。
∫[0→∞](xsinx/(1+x^2))dx を解くのに必要な道具
- 偶関数・奇関数の定積分の性質
- 複素数の絶対値の外し方
- ジョルダンの不等式
- その他
)dx の解き方](https://jikuu.work/wp-content/uploads/2019/11/R-1-600x347.jpg "∫[0→∞](xsinx/(1+x^2))dx の解き方 4")
∫[0→∞](cosx/(1+x^2)^2)dxの解き方
∫[0→∞](xsinx/(1+x^2))dx、 ∫[0→∞](cosx/(1+x^2)^2)dx は、同じ形をした関数ですが、 ∫[0→∞](cosx/(1+x^2)^2)dx は、 分母の次数が分子の次数よりも2以上大きいので定理が使えます。
留数の原理、偶関数・奇関数の定積分の性質を用いた定積分は、定理が使えれば計算が楽なので記事にしました。
∫[0→π]cosθ/(5-4cosθ)dθの解き方
\(\int_{0}^{ \pi }\frac{cos\theta}{5-4cos\theta}d\theta\)の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。
∫[0→π]cosθ/(5-4cosθ)dθ を解くのに必要な道具
- 三角関数の有理関数
- 留数の原理を用いた定積分の計算
![∫[0→π]cosθ/(5-4cosθ)dθ の解き方](https://jikuu.work/wp-content/uploads/2019/11/R4.jpg "∫[0→π]cosθ/(5-4cosθ)dθ の解き方 8")
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