表面積が一定な直方体のうち体積が最大 になるものは簡単に解けると思っていましたがラグランジュの未定乗数法：3 変数の場合結構手間取ったので記事にしました。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
「表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの」を解くのに必要な道具
ラグランジュの未定乗数法：3 変数の場合
ラグランジュの未定乗数法：3 変数の場合
(a, b, c) が条件 g(x, y, z) = 0 の下での f(x, y, z) の極値をとる点ならば、(a, b, c) は g(x, y, z) = 0 の特異点である。
または
F(x, y, z, λ) = f(x, y, z) − λg(x, y, z) と定義すると、(a, b, c, λ0) が F の停留点に
なるような λ0 が存在する。
が成り立つ。
表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの
直方体の辺の長さをx,y,zとすると表面積Sは、S=2(xy+yz+zx)
体積は、f(x,y,z)=xyz
制約条件 g(x,y,z)=2(xy+yz+zx)-S
ラグランジュの未定乗数法
$$F(x,y,z,\lambda)=xyz-\lambda(2xy+2yz+2zx-S),\ F_x=yz-\lambda(2y+2z)=0$$
$$F_y=zx-\lambda(2z+2x)=0,\ F_z=xy-\lambda(2x+2y)=0$$
\(yz-\lambda(2y+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{yz}{2y+2z}\), \(xz-\lambda(2x+2z)=0\)より、\(\lambda=\frac{xz}{2x+2z}\)
\(xy-\lambda(2x+2y)=0\)より、\(\lambda=\frac{xy}{2x+2y}\)
$$\frac{yz}{2y+2z}=\frac{xz}{2x+2z},\ y(2x+2z)=x(2y+2z),\ 2xy+2yz=2xy+2xz,\ 2yz=2xz,\ x=y$$
$$\frac{xz}{2x+2z}=\frac{xy}{2x+2y},\ z(2x+2y)=y(2x+2z),\ 2xz+2yz=2xy+2yz,\ 2xz=2xy,\ y=z$$
表面積が一定な直方体のうち体積が最大になるもの
体積が最大になるのは、x=y=zのとき つまり 立方体
参考文献
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