微分方程式

y’=(1+y)/sinx の計算過程が複雑なので記事にしました。 変数分離形 計算の方針：1/sinxの積分が複雑なので最初に計算します。 $y'=\frac{1+y}{sin\ x}$の計算過程が複雑なので記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 計算の方針 $\frac{1}{sin\ x}$の積分が複雑なので最初に計算します。 $\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}$ を解くのに必要な道具 置換積分 2倍角の公式 置換積分 関数f(x)が連続であり、関数φ(t)は、微分可能で導関数φ'(t)が連続とする。このとき $$\int{}{}f( \varphi (x)) \varphi ^{\prime}(x)dx=\int_{}{}f(t)dt$$ が成り立つ。 2倍角の公式 $$cos2\theta=2cos^2\theta-1$$ $$tan2\theta=\frac{2tan\theta}{1-tan^2\theta}$$ 証明 cosの加法定理 cosα+β=cosαcosβ-sinαsinβ において α=β=θ とおくと $$cos2\theta=cos\theta cos\theta-sin\theta sin\theta=cos^2\theta-sin^2\theta$$ tanの加法定理 $$tan( \alpha + \beta )=\frac{tan\ \alpha + tan\ \beta}{1-tan\ \alpha\ tan\ \beta}$$ において α=β=θ とおくと， $$tan\ 2\theta=\frac{tan\ \theta+tan\ \theta}{1-tan\ \theta\ tan\ \theta}=\frac{2tan\ \theta}{1-tan^2\theta}$$ $\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}$の解法 $t=tan\frac{x}{2}$とおくと $$tan\ x=\frac{2tan\frac{x}{2}}{1-tan^2\frac{x}{2}}=\frac{2t}{1-t^2}$$ $cos^2\frac{x}{2}=\frac{1}{1+tan^2\frac{x}{2}}=\frac{1}{1+t^2}$より $$cos\ x=2cox^2\frac{x}{2}-1=\frac{2}{1+t^2}-1=\frac{2-1-t^2}{1+t^2}=\frac{1-t^2}{1+t^2}$$ $$sin\ x=tan\ x\ cos\ x=\frac{2t}{1-t^2}\frac{1-t^2}{1+t^2}=\frac{2t}{1+t^2}$$ sinxの微分 $$\frac{dx}{dt}=\frac{2(1+t^2)-4t^2}{(1+t^2)^2}=\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)^2}=\frac{2(1-t^2)}{(1+t^2)(1-t^2)}=\frac{2}{1+t^2}$$ $$dx=\frac{2}{1+t^2}dt$$ $\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}$の解法 $$\int_{}{}\frac{1}{sin\ x}dx=\int_{}{}\frac{1+t^2}{2t}\frac{2}{1+t^2}dt=\int_{}{}\frac{1}{t}dt=log|t|=log\left|tan\frac{x}{2}\right|$$ $y'=\frac{1+y}{sin\ x}$の解法 y’=(1+y)/sinx の解法 変数分離形 $$\frac{dy}{dx}=\frac{1+y}{sin\ x},\ \frac{1}{1+y}dy=\frac{1}{sin\ x}dx,\ \int_{}{} \frac{1}{1+y}dy=\int_{}{} \frac{1}{sin\ x}dx,\ log|1+y|=log\left|tan \frac{x}{2}\right|+A$$ $$|1+y|=e^A\left|tan\frac{x}{2}\right|,\ |1+y|=B\left|tan\frac{x}{2}\right|,\ 1+y=C\cdot tan\frac{x}{2},\ y=C\cdot tan\frac{x}{2}-1$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

y’=(x^2-y^2)/2xy の解き方同次形

y’=(1+y)/sinx の解き方変数分離形

y’=(x^2-y^2)/2xy の解き方 同次形

y’=(1+y)/sinx の解き方 変数分離形

y’=(x^2-y^2)/2xy の解き方同次形

y’=(1+y)/sinx の解き方変数分離形