lim[n->∞]2nsin(π/n) はlim[n->∞]sin(π/n)=0です。ゆえに、この問題は「∞・0の 不定形 」の問題です。
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}は\lim_{n\to\infty}sin\frac{\pi}{n}=0\)です。ゆえに、この問題は「\(\infty\cdot 0\)の不定形」の問題です。
※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。
目次
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)を解くのに必要な道具 lim[n->∞]2nsin(π/n) を解くのに必要な道具
$$\lim_{\theta\to\infty}\frac{\theta}{sin\theta}=1$$
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)の解法 lim[n->∞]2nsin(π/n) の解法
\(\frac{1}{n}=n\)とおくと
n→∞のときt→0
よって
\(\displaystyle \lim_{n \to \infty}2nsin\frac{\pi}{n}\)
$$=\lim_{t \to 0}\frac{2sin\ \pi t}{t}=\lim_{t \to 0}\frac{2\pi sin\ \pi t}{\pi t}=2\pi\lim_{t \to 0}\frac{sin\ \pi t}{\pi t}=2\pi$$
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