階数低下法 - パソコン１つで出来ること！

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t)) の解くのに必要な道具： 階数低下法 $(t^2+3t+4)x''+(t^2+t+1)x'-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})$の解くのに苦労したので備忘録として記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $(t^2+3t+4)x''+(t^2+t+1)x'-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})$の解くのに必要な道具 (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t))の解くのに必要な道具 階数低下法 （分子の次数）&gt;=（分母の次数）のとき、分子の次数を分母より低くする。 部分積分 階数低下法 $x_1$を既知の解であるとし $x=x_1y$ とおいて解を求める方法。 （分子の次数）&gt;=（分母の次数）のとき、分子の次数を分母より低くする。 分子を分母で割る。 部分積分 $$\int_{}{}f(x)g(x)dx=F(x)g(x)-\int_{}{}F(x)g'(x)dx$$ $x=e^ty$とおくと $$x'=-e^{-t}y+e^{-t}y',\ x''=e^{-t}y+2e^{-t}y'+e^{-t}y''$$ これを$(t^2+3t+4)x''+(t^2+t+1)x'-(2t+3)x=0$に代入 $$(t^2+3t+4)(e^{-t}y-2e^{-t}y'+e^{-t}y'')+(t^2+t+1)(-e^{-t}y+e^{-t}y')-(2t+3)e^{-t}y=0$$ $$t^2e^{-t}y-2t^2e^{-t}y'+t^2e^{-t}y''+3te^{-t}y-6te^{-t}y'+3te^{-t}y''+4e^{-t}y'-8e^{-t}y'+4e^{-t}y$$ $$-t^2e^{-t}y+t^2e^{-t}y'-te^{-t}y+te^{-t}y'-e^{-t}y+e^{-t}y'-2te^{-t}y-3e^{-t}y=0$$ $$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})y''+(-2t^2e^{-t}-6te^{-t}-8e^{-t}+t^2e^{-t}+te^{-t}+e^{-t})y'$$ $$+(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t}-t^2e^{-t}-te^{-t}-e^{-t}-2te^{-t}-3e^{-t})y=0$$ $$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})y''+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})y'=0$$ z=y'を新しい未知関数と考えると $$(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})z'+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})z=0$$ $(t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t})z'+(-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t})z=0$の解法 $$z'+\frac{-t^2e^{-t}-5te^{-t}-7e^{-t}}{t^2e^{-t}+3te^{-t}+4e^{-t}}z=0,\ z'+\frac{-t^2-5t-7}{t^2+3t+4}z=0$$ $$e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z'-\frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z=0,\ \left[ e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z\right]'=0,\ e^{-\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}z=c_1$$ $$z=e^{\int_{}{} \frac{t^2+5t+7}{t^2+3t+4}dt}c_1=e^{\int_{}{}\left( 1+\frac{2t+3}{t^2+3t+4}\right)dt}c_1=e^{(t+log(t^2+3t+4))}c_1$$ $(t^2+3t+4)x''+(t^2+t+1)x'-(2t+3)x=0\ (x=e^{-t})$の一般解 (t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 (x=e^(-t)) の一般解 $$x =x_1y=x_1\int_{}{}zdt=e^{-t}\int_{}{}e^{(t+log(t^2+3t+4))}c_1=e^{-t}\int_{}{}e^te^{log(t^2+3t+4)}c_1=e^{-t}\int_{}{}e^t(t^2+3t+4)c_1dt$$ $$=e^{-t}\left(\left (e^t(t^2+3t+4)-\int_{}{}e^t(2t+3) \right )c_1\right )=e^{-t} \left ( \left (e^t(t^2+3t+4)-\left(e^t(2t+3)-\int_{}{}e^t2tdt\right ) \right ) c_1 \right ) $$ $$=e^{-t}((e^t(t^2+3t+4)-e^t(2t+3)+2e^t+c_2 )c_1)=(t^2+3t+4-2t-3+2 + c_2 e^{-t} )c_1$$ $$= C_1 (t^2+t+3)+ C_2 e^{-t}$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 の一般解 階数低下法

(t^2+3t+4)x”+(t^2+t+1)x’-(2t+3)x=0 の一般解階数低下法