ヘッシアン - パソコン１つで出来ること！

e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2) , (a , b&gt;0) , b&gt;a の 極値 を求めるのに必要な道具 停留点 ヘッシアン $e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b&gt;0),\ a&lt;b$の極値を求める問題が計算が長くなるので、備忘録として残しておくことにしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b&gt;0),\ a&lt;b$の極値を求めるのに必要な道具 e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2) ,(a,b&gt;0),a&lt;b の 極値 を求めるのに必要な道具 停留点 ヘッシアン 停留点 $f(x,\ y)$が$(x_0,\ y_0)$で偏微分可能とする。もし$f(x,\ y)$が$(x_0,\ y_0)$で極値をとれば $$f_x(x_0,\ y_0)=0,\ f_y(x_0,\ y_0)=0$$ である。 ヘッシアン $f(x,\ y)$が$(x_0,\ y_0)$の近傍において$C^2$級とし $$f_x(x_0,\ y_0)=f_y(x_0,\ y_0)=0$$ とする。$f(x,\ y)$の$(x_0,\ y_0)$におけるヘッシアンをHとすると $H&gt;0,\ f_{xx}(x_0,\ y_0)&gt;0$ならば$f(x,\ y)$は$(x_0,\ y_0)$で極小となる。 $H&gt;0,\ f_{xx}(x_0,\ y_0)&lt;0$ならば$f(x,\ y)$は$(x_0,\ y_0)$で極大となる。 $H&lt;0$ならば$f(x,\ y)$は$(x_0,\ y_0)$で極値をとらない。 $e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2),\ (a,\ b&gt;0),\ a&lt;b$の極値 e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2) ,(a,b&gt;0),a&lt;b の 極値 $f(x,\ y)= e^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)$とおく 停留点 $$f_x(x,\ y)=-2xe^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)+e^{-x^2-y^2}2ax=-2x(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}=0$$ $$f_y(x,\ y)=-2ye^{-x^2-y^2}(ax^2+by^2)+e^{-x^2-y^2}2by=-2y(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}=0$$ $$ax^2+by^2-b=0,\ x=0,\ by^2-b=0,\ y^2=1,\ y=\pm1$$ $$ax^2+by^2-a=0,\ y=0,\ ax^2-a=0,\ x^2=1,\ x=\pm1$$ $$(0,\ 0),\ (\pm1,\ 0),\ (0,\ \pm1)$$ ヘッシアン $$f_{xx}(x,\ y)=-2(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}-2x\cdot2axe^{-x^2-y^2}-2x(ax^2+by^2-a)(-2x)e^{-x^2-y^2}$$ $$=-2((ax^2+by^2-a)+2ax^2-2x^2(ax^2+by^2-a))e^{-x^2-y^2}$$ $$=-2((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)e^{-x^2-y^2}$$ $$f_{xy}(x,\ y)=-2x\cdot 2bye^{-x^2-y^2}+4xy(ax^2+by^2-a)e^{-x^2-y^2}=4xy(ax^2+by^2-a-b)e^{-x^2-y^2}$$ $$f_{yy}(x,\ y)=-2(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}-2y\cdot2bye^{-x^2-y^2}+4y^2(ax^2+by^2-b)e^{-x^2-y^2}$$ $$=-2((ax^2+by^2-b)+2by^2-2y^2(ax^2+by^2-b))e^{-x^2-y^2}$$ $$=-2((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)e^{-x^2-y^2}$$ $$H(x,\ y)=4((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)e^{-2(x^2+y^2)}$$ $$-16x^2y^2(ax^2+by^2-a-b)^2e^{-2(x^2+y^2)}$$ $$=4(((ax^2+by^2-a)(1-2x^2)+2ax^2)((ax^2+by^2-b)(1-2y^2)+2by^2)$$ $$-4x^2y^2(ax^2+by^2-a-b)^2)e^{-2(x^2+y^2)}$$ 停留点が$(0,\ 0)$のとき $$H(0,\ 0)=4(-a)(-b)=4ab&gt;0,\ f_{xx}(0,\ 0)=2a&gt;0\ 極小値0$$ 停留点が$(\pm1,\ 0)$のとき $$H(\pm1,\ 0)=4(2a^2-2ab)=8a(a-b)&lt;0\ 鞍点$$ 停留点が$(0,\ \pm1)$のとき $$H(0,\ \pm1)=4(b-a)2b=8b(b-a)&gt;0,\ f_{xx}(0,\ \pm1)=-2(b-a)&lt;0,\ 極大値f(0,\ \pm1)=e^{-1}b=\frac{b}{e}$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の解析入門を勉強しています！

e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2) , (a , b>0) , b>a の 極値

e^(-x^2-y^2)(ax^2+by^2) , (a , b>0) , b>a の極値