調和多項式 - パソコン１つで出来ること！

4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す問題 $4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、$r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta$の1次結合として表す問題 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$が調和多項式であることを確かめ、それを極座標に変換して、$r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta$の1次結合として表す問題を解くのに必要な道具 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 を r^nsinnθ, r^ncosnθ の 1次結合として表す問題を解くのに必要な道具 調和関数 正弦関数(sin)の8倍角の公式 調和関数 $$\Delta=\frac{\partial^2}{\partial x^2} + \frac{\partial^2}{\partial y^2},\ \Delta u(x,y)=0$$ 調和関数とは、ラプラシアンを作用させると0になる 関数 各々の変数について偏微分を2回して、それを足し合わせた式 $4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$が調和多項式であることを確かめる。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 が調和多項式であることを確かめる。 $$\frac{\partial^2}{\partial x^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial x}(28x^6y-140x^4y^3+84x^2y^5-4y^7)$$ $$=168x^5y-560x^3y^3+168xy^5$$ $$\frac{\partial^2}{\partial y^2}(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=\frac{\partial}{\partial y}(4x^7-84x^5y^2+140x^3y^4-28xy^6)$$ $$=-168x^5y+560x^3y^3-168xy^5$$ よって$\Delta(4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7)=0$ なので調和多項式 正弦関数$(sin)$の8倍角の公式 $$sin8\theta=8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta$$ 証明 $$(a+bi)^8=a^8+8a^7bi-28a^6b^2-56a^5b^3i+70a^4b^4+56a^3b^5i-28a^2b^6-8ab^7i+b^8$$ $$=a^8-28a^6b^2+70a^4b^4-28a^2b^6+b^8+i(8a^7b-56a^5b^3+56a^3b^5-8ab^7)$$ $$cos8\theta+isin8\theta=(cos\theta+isin \theta)^8$$ $$=cos^8\theta-28cos^6\theta sin^2\theta+70cos^4\theta sin^4\theta-28cos^2\theta sin^6\theta+sin^8\theta$$ $$+i(8cos^7\theta sin\theta-56cos^5\theta sin^3\theta+56cos^3\theta sin^5\theta-8cos\theta sin^7\theta)$$ $4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7$を極座標に変換して、$r^n sin\ n \theta, r^n cos\ n \theta$の1次結合として表す。 4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7 r^nsinnθ,r^ncosnθ の 1次結合 として表す $x=r\ cos\theta,\ y=r\ sin\theta$とおくと $$4x^7y-28x^5y^3+28x^3y^5-4xy^7=r^8(4cos^7\theta sin\theta-28cos^5\theta sin^3\theta+28cos^3\theta sin^5\theta-4cos\theta sin^7\theta)$$ $$=r^8\left(\frac{sin8\theta}{2}\right)\cdots答え$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！