決定方程式 - パソコン１つで出来ること！

x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法 三角関数のマクローリン展開 $x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$を解くのに必要な道具 x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法 三角関数のマクローリン展開 フロベニウスの方法 $f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)$と仮定する。 三角関数のマクローリン展開 $$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$ $$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$ $x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$の解法 x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0 の解法 x=0は確定特異点 級数を$y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}$とおくと$y'=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y''=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}$ これを$x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$に代入 x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0に代入 $$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho+2}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho}-\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-2} x^{n+\rho}+\sum_{n=0}^\infty 2c_n x^{n+\rho}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho)+2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty (((n+\rho)(n+\rho-1)-2(n+\rho-1))c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty ((n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2} )x^{n+\rho}=0$$ 決定方程式 $$(n+\rho-1)(n+\rho-2)c_n +c_{n-2}=0\cdots①$$ n=0のとき①より $$(\rho-1)(\rho-2)c_0 +c_{-2}=0$$ $c_{-2}=0$とすれば$(\rho-1)(\rho-2)c_0=0$, $c_0\neq0$より$\rho=1,\ 2$ n=1のとき①より $$\rho(\rho-1)c_1 +c_{-2}=0$$ $c_{-2}=0$とすれば$\rho(\rho-1)c_1=0$とならなければならないので$c_1=0$ $\rho=1$のとき ①より $$n(n-1)c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{n(n-1)}$$ $c_1=0$ $n=2$のとき $c_2=-\frac{c_0}{2}$ $n=3$のとき $c_3=\frac{-c_1}{3\cdot 2}=0,\ c_5=c_7=\cdots=0$ $n=4$のとき $c_4=\frac{-c_2}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}$ $$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+1}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}\cdots②$$ $\rho=2$のとき ①より $$(n+1)n c_n=-c_{n-2},\ c_n=\frac{-c_{n-2}}{(n+1)n}$$ $c_1=0$ $n=2$のとき $c_2=\frac{-c_0}{3\cdot 2}=\frac{-c_0}{3!}$ $n=3$のとき $c_3=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=0,\ c_5=c7-\cdots=0$ $n=4$のとき $c_4=\frac{-c_2}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}$ $$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+2}=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}\cdots③$$ $x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0$の一般解 x^2y''-2xy'+(x^2+2)y=0の一般解 ②と③の$c_0$は別物なので $$y=c_0x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n)!}x^{2n}+c_1x\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{(2n+1)!}x^{2n+1}=c_0x\ cos\ x+c_1x\ sin\ x$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解き方 フロベニウスの方法

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解き方フロベニウスの方法