定積分 - パソコン１つで出来ること！

∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx を解くのに必要な道具 留数の原理を用いた定積分の計算 m位の極の留数 $\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx$の解き方が検索しても出てこなかったので記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx$を解くのに必要な道具 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx を解くのに必要な道具 留数の原理を用いた定積分の計算 m位の極の留数 留数の原理を用いた定積分の計算 関数f(z)は上半平面Imz≧0で、実軸上にない有限個の極$ \alpha _1, \alpha_2,\cdots, \alpha_ n$を除いて正則で $$\lim_{z \to \infty}z f(z)=0$$ とする。このとき $$\int_{-\infty}^{\infty}f(x)dx=2\pi i\sum_{l=1}^{n}Res_{z=\alpha l} \ f(z)$$ である。 m位の極の留数 $$Res_{z=\alpha}\ f(z)=\frac{1}{(m-1)!}\lim_{z \to \alpha}\frac{d^{m-1}(z-\alpha)^m f(z)}{dz^{m-1}}$$ $\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx$の解法 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx の解法 $(1+z^2)^2=(z-i)^2(z+i)^2$よりz=iは2位の極である。 よって $$Res_{z=i}\ \frac{1}{(z^2+1)^2}=\left[ \frac{d}{dz}\left((z-i)^2\frac{1}{(z^2+1)^2} \right ) \right] _{z=i} =\left[ \frac{d}{dz}\frac{1}{(z+i)^2}\right] _{z=i}$$ $$=\left[\frac{-2(z+i)}{(z+i)^4}\right]_{z=i}=\left[\frac{-2}{(z+i)^3}\right]_{z=i}=\frac{-2}{(2i)^3}=\frac{2}{8i}=\frac{1}{4i}$$ $\int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx$の解法 ∫[-∞→∞](1/(1+x^2)^2)dx の解法 また、$ \displaystyle \lim_{z \to \infty }z\frac{1}{(z^2+1)^2}=0$である。以上のことから $$ \int_{- \infty }^{ \infty }\frac{1}{(1+x^2)^2}dx=2 \pi i \left(\frac{1}{4i}\right)=\frac{\pi}{2}$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の留数を勉強しています！

∫[-∞→∞] (1/(1+x^2)^2)dx の解き方