クラメルの公式 - パソコン１つで出来ること！

x''-x'=sint+2cost を解くのに必要な道具 部分積分 定数変化法 クラメルの公式 定数係数非斉次2階線形方程式の特殊解を求めるのに定数変化法があるが クラメルの公式 が使われている方が式を覚えるのが楽でした。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 x''-x'=sint+2cost を解くのに必要な道具 部分積分 定数変化法 クラメルの公式 部分積分 $$\int_{}{}f(x)g(x)dx=f(x)G(x)-\int_{}{}f'(x)G(x)dx$$ 定数変化法 $$x(t)=-x_1(t)\int_{}{}\frac{x_2(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt+x_2(t)\int_{}{}\frac{x_1(t)r(t)}{W(x_1,\ x_2)(t)}dt$$ クラメルの公式 連立方程式 $$\left\{ \begin{array}{r} a_{11}x_1+a_{12}x_2=b_1 \\ a_{21}x_1+a_{22}x_2=b_2 \end{array} \right.$$ を行列を用いて表すと $$\left( \begin{array}{ll} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{array} \right)\left( \begin{array}{c} x_1 \\ x_2 \end{array} \right)=\left( \begin{array}{c} b_1 \\ b_2 \end{array} \right)$$ の解は $$x_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} b_1 &amp; a_{12} \\ b_2 &amp; a_{22} \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{array} \right|},\ x_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} a_{11} &amp; b_1 \\ a_{21} &amp; b_2\end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} a_{11} &amp; a_{12} \\ a_{21} &amp; a_{22} \end{array} \right|}$$ x''-x'=sint+2cost の一般解 x''-x'=sint+2cost の基本解 $x=e^{\alpha t}$とおくと$\alpha^2-\alpha=0,\ \alpha(\alpha-1)=0,\ x_1=1,\ x_2=e^t$ x''-x'=sint+2cost の特殊解 クラメルの公式 $$u'_1=\frac{\left| \begin{array}{cc} 0 &amp; e^t \\ sin\ t+2cos\ t &amp; e^t \end{array} \right|}{\left|\begin{array}{cc} 1 &amp; e^t \\ 0 &amp; e^t \end{array} \right|}=\frac{e^tsin\ t+2e^tcos\ t}{e^t}=sin\ t-2cos\ t$$ $$u'_2=\frac{\left| \begin{array}{cc} 1 &amp; 0 \\ 0 &amp; sin\ t+2cos\ t \end{array} \right|}{e^t}=\frac{sin\ t+2cos\ t}{e^t}=e^{-t}sin\ t+2e^{-t}cos\ t$$ 積分する $$u_1=-\int_{}{}sin\ tdt-2\int_{}{}cos\ tdt=cos\ t-2sin\ t$$ $$u_2=\int{}{}e^{-t}sin\ tdt+2\int_{}{}e^{-t}cos\ tdt$$ $\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt$の積分 $$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt,\ \int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt $$ $$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-(e^{-t}sin\ t+\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt)$$ $$2\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-e^{-t}cos\ t-e^{-t}sin\ t$$ $$\int_{}{}e^{-t}sin\ t\ dt=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)$$ $2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$の積分 $$\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt =e^{-t}sin\ t-e^{-t}cos\ t-\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt$$ $$2\int_{}{}e^{-t}cos\ t\ dt=e^{-t}(sint\ t-cos\ t)$$ $u_2$の積分続き $$u_2=-\frac{1}{2}e^{-t}(sin\ t+cos\ t)+e^{-t}(sin\ t-cos\ t)$$ x''-x'=sint+2cost の特殊解 $$x=cos\ t-2sin\ t-\frac{1}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t+sin\ t-cos\ t=-\frac{3}{2}sin\ t-\frac{1}{2}cos\ t$$ x''-x'=sint+2costの一般解 $$x=c_1+c_2e^{t}-\frac{1}{2}cos\ t-\frac{3}{2}sin\ t$$ 参考文献 リンク 特殊解を求めるのに定数変化法よりクラメルの公式

x”-x’=sint+2cost クラメルの公式