最大値 - パソコン１つで出来ること！

z=(x+y)/(x^2+y^2+1) の 最大値 ・ 最小値 を求めるのに必要な道具 停留点 虚数に大小はない ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 $z=\frac{x+y}{x^2+y^2+1}$の最大値・最小値を求めるのに必要な道具 z=(x+y)/(x^2+y^2+1) の 最大値 ・ 最小値 を求めるのに必要な道具 停留点 虚数に大小はない 停留点 f(x, y)が$(x_0,\ y_0)$で偏微分可能とする。もしf(x, y)が$(x_0,\ y_0)$で極値をとれば $$f_x(x_0,\ y_0)=0,\ f_y(x_0,\ y_0)=0$$ である。 虚数に大小はない 0&lt;iと仮定すると$0&lt;i^2$, 0&lt;-1の矛盾が生じる。 0&gt;iと仮定すると$0&gt;i(-i)$, 0&gt;1と矛盾した不等式になる。 $z=\frac{x+y}{x^2+y^2+1}$の最大値・最小値 z=(x+y)/(x^2+y^2+1) の 最大値 ・ 最小値 停留点 $$z_x=\frac{x^2+y^2+1-(x+y)2x}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{-x^2-2xy+y^2+1}{(x^2+y^2+1)^2}=0$$ $$z_y=\frac{x^2+y^2+1-(x+y)2y}{(x^2+y^2+1)^2}=\frac{x^2-2xy-y^2+1}{(x^2+y^2+1)^2}=0$$ $$\begin{cases}-x^2-2xy+y^2+1=0&amp;\cdots①\\x^2-2xy-y^2+1=0&amp;\cdots②\end{cases}$$ $$①+② -4xy+2=0,\ 4xy=2,\ x=\frac{1}{2y}を②に代入$$ $$\frac{1}{4y^2}-1-y^2+1=0,\ 1-4y^4=0,\ 4y^4=1,\ y^4=\frac{1}{4},\ y^4-\frac{1}{4}=0$$ $$\left(y^2-\frac{1}{2}\right)\left(y^2+\frac{1}{2}\right)=0,\ \left(y-\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(y+\frac{1}{\sqrt{2}}\right)\left(y^2+\frac{1}{2}\right)=0,\ y=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}$$ 停留点 $\left(\frac{\sqrt{2}}{2},\ \frac{\sqrt{2}}{2}\right),\ \left(-\frac{\sqrt{2}}{2},\ -\frac{\sqrt{2}}{2}\right)$ iに大小はない 停留点が$\left(\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}\right)$のとき $$最大値 z\left(\frac{\sqrt2}{2},\ \frac{\sqrt2}{2}\right)=\frac{\sqrt2}{2}$$ 停留点が$-\left(\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}\right)$のとき $$最小値 z\left(-\frac{\sqrt2}{2},\ -\frac{\sqrt2}{2}\right)=-\frac{\sqrt2}{2}$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の解析入門を勉強しています！

z=(x+y)/(x^2+y^2+1) の 最大値 ・ 最小値

z=(x+y)/(x^2+y^2+1) の最大値・最小値