フロベニウスの方法

4xy''+2y'+y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法 三角関数のマクローリン展開 4xy''+2y'+y=0 を フロベニウスの方法 で解くのに苦労したので記事にしました。 ※数式がスマホで画面からはみ出る場合、横スクロールするかピンチインしてください。 4xy''+2y'+y=0 を解くのに必要な道具 フロベニウスの方法 三角関数のマクローリン展開 フロベニウスの方法 $f(x)=x^{\rho}\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^n=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{\rho+n}\ (c_0\neq0)$と仮定する。 三角関数のマクローリン展開 $$cos\ x=1-\frac{1}{2!}x^2+\frac{1}{4!}x^4-\cdots+(-1)^n\frac{1}{(2n)!}x^{2n}+\cdots$$ $$sin\ x=x-\frac{1}{3!}x^3+\frac{1}{5!}x^5-\cdots+(-1)^{n-1}\frac{1}{(2n-1)!}x^{2n-1}+\cdots$$ 4xy''+2y'+y=0の解法 x=0は確定特異点 級数を$y=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\rho}$とおくと$y'=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)c_n x^{n+\rho-1},\ y''=\displaystyle\sum_{n=0}^\infty (n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-2}$ これを4xy''+2y'+y=0に代入 $$\sum_{n=0}^\infty 4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty 2(n+\rho)c_n x^{n+\rho-1}+\sum_{n=0}^\infty c_{n-1} x^{n+\rho-1}=0$$ $$\sum_{n=0}^\infty\left( \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}\right)x^{n+\rho-1}=0$$ 決定方程式 $$ \left(4(n+\rho)(n+\rho-1)c_n+2(n+\rho)\right)c_n +c_{n-1}=0$$ $$(n+\rho)(4n+4\rho-4+2)c_n+c_{n-1}=0$$ $$2(n+\rho)(2n+2\rho-1)c_n+c_{n-1}=0\cdots①$$ n=0のとき①より $$2\rho(2\rho-1)c_0+c_{-1}=0$$ $c_{-1}=0$とすれば$\rho(2\rho-1)c_0=0$, $c_0\neq0$より$\rho=0,\ \frac{1}{2}$ $\rho=0$のとき ①より $$2n(2n-1)c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{2n(2n-1)}$$ $n=1$のとき $c_1=-\frac{c_0}{2}$ $n=2$のとき $c_2=\frac{-c_1}{4\cdot 3}=\frac{c_0}{4!}$ $n=3$のとき $c_3=\frac{-c_2}{6\cdot 5}=-\frac{c_0}{6!}$ $n=4$のとき $c_4=\frac{-c_3}{8\cdot 7}=\frac{c_0}{8!}$ $$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+0}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}\cdots②$$ $\rho=\frac{1}{2}$のとき ①より $$(2n+1)2n c_n=-c_{n-1},\ c_n=\frac{-c_{n-1}}{(2n+1)2n}$$ $n=1$のとき $c_1=-\frac{c_0}{3\cdot 2}=-\frac{c_0}{3!}$ $n=2$のとき $c_2=\frac{-c_1}{5\cdot 4}=\frac{c_0}{5!}$ $n=3$のとき $c_3=\frac{-c_2}{7\cdot 6}=-\frac{c_0}{7!}$ $n=4$のとき $c_4=\frac{-c_3}{9\cdot 8}=\frac{c_0}{9!}$ $$y=\sum_{n=0}^\infty c_n x^{n+\frac{1}{2}}=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}\cdots③$$ 4xy''+2y'+y=0の一般解 ②と③の$c_0$は別物なので $$y=c_0\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n}}{(2n)!}+c_1\sum_{n=0}^\infty(-1)^n\frac{(\sqrt x)^{2n+1}}{(2n+1)!}=c_0cos\sqrt x+c_1sin\sqrt x$$ 参考文献 リンク 独学で大学数学の微分方程式を勉強しています！

x^2y”-2xy’+(x^2+2)y=0 の解き方フロベニウスの方法

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